MATEMÁTICAS III CORTE

 1.CONGRUENCIA:

Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. Aunque su orientación u orientación sean distintas. Se recortan las figuras y se coloca una encima de la otra daría figuras iguales.

EJEMPLO: 

 SEMEJANZA: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño.

DOS FIGURAS SON:

SEMEJANTES SI:                                                                    CONGRUENTES SI:

            ·         Tienen la misma forma                                                * Tienen la misma forma

            ·         No tienen el mismo tamaño                                         * Tienen el mismo tamaño

            ·         Sus ángulos son siempre iguales                                  * Sus medidas son iguales

            ·         Son proporcionales                                                     * Sus ángulos son iguales

                                                                                          * No importa su posición

EJEMPLO:

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, y sus lados correspondientes son proporcionales.

Observa las siguientes figuras, son semejantes porque tiene la misma forma, pero su tamaño es diferente.

Dos figuras son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma.

Observa las siguientes flechas, son congruentes pues tiene la misma forma y el mismo tamaño, a pesar que su posición sea diferente.

ACTIVIDAD 1:

       1.      

Observa la figura y responde las siguientes preguntas justificando la respuesta:

          a.       ¿los triángulos ABC y DEC tienen la misma forma?

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       b.       ¿Los triángulos ABC y DEC son congruentes?

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       c.       ¿Los triángulos ABC y DEC son semejantes?

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       1.       Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano y luego únelos con segmentos rectos hasta formar una figura cerrada. Luego realiza la transformación indicada y escribe las nuevas coordenadas de cada punto. Ubícalos en el mismo plano y une nuevamente los puntos para obtener la figura dada.

Coordenadas iniciales: A (2,1), B (5,1), C (4,3), D (3,3).

Transformaciones:

a. En el punto A multiplica la primera y la segunda coordenada por 3

b. En el punto B multiplica la primera coordenada por 2 y la segunda coordenada por 3

c. En el punto C suma 5 a la primera coordenada y suma 3 a la segunda coordenada. 

d. En el punto D suma 4 a la primera coordenada y multiplica por 2 a la segunda coordenada.

e. Compara las figuras obtenidas y escribe aquí tus conclusiones.

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3. Une con una línea de color rojo las figuras que son semejantes.

2.- ANGULOS

¿Qué es un ángulo?

Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común.

Partes de un ángulo

En un plano, dos semirrectas con un origen común siempre generan dos ángulos.

En el dibujo podemos ver dos, el A y el B.

Están compuestos por dos lados y un vértice en el origen cada uno.

TIPOS DE ÁNGULOS

Empezaremos diciendo que un ángulo está formado por dos rectas secantes: ambas coinciden en un punto al que llamamos vértice, y el resto de puntos pasan a formar lo que nombramos como lados. Los ángulos tienen una amplitud que se mide en grados gracias al transportador (que veremos en el punto siguiente). En la siguiente imagen lo verás mucho más claro.

 Herramientas para la creación y medición de ángulos

A continuación, vamos a ver las herramientas que utilizamos tanto en la creación del os ángulos (regla,

escuadra, cartabón y compás) como en la medición de los mismos (compás y transportador de ángulos).

Verás que todos son tremendamente útiles y fáciles de utilizar cuando sabemos cómo.

La regla, la escuadra y el cartabón

La principal herramienta y que nunca falta es la regla. Al principio, nos cuesta comprender que se mide

comenzando por el cero y no por la esquinita; pero, en cuanto le cogemos el truco a lo de sujetar con una

mano y trazar con la otra, se transforma en una aliada en cualquier asignatura. Llegando, con el tiempo, a

convertirla en la vía de tren por la que circulan la escuadra y el cartabón para rectas

paralelas o perpendiculares cuando no usamos los dos triángulos a la vez. La dificultad en cuanto a estos dos

útiles suele estar más en diferenciarlos que en usarlos. Para salir de dudas, observa el siguiente esquema:

• Escuadra: es un triángulo rectángulo e isósceles porque tiene un ángulo recto y los otros dos iguales.
• Cartabón: es un triángulo rectángulo también, pero con los otros dos ángulos diferentes entre sí (suele ser más grande que la escuadra).

  El compás y el transportador de ángulos

Llega el turno del compás con sus dos brazos metálicos acabados uno en una aguja y el otro en material para

escribir (grafito, tinta, una pintura, etc. depende del formato y las necesidades). Lo cierto es que, más que

brazos parecen piernas que giran como las bailarinas y se mueven hacia los lados como robots. Gracias a él,

medimos ángulos; trazamos mediatrices y bisectrices; movemos figuras geométricas en el papel; y hacemos

cosas menos técnicas (pero no menos ciertas) como pincharnos, contorsionarnos, agujerear el estuche y

pasarlo genial dibujando una circunferencia tras otra.

Cuando ya vamos siendo unos/as expertos/as en la Primaria, llega el momento de aprender a usar

el transportador de ángulos: una semicircunferencia que recuerda al arco de los parques infantiles y con la

que podemos quedarnos tan satisfechos/as de nosotros/as mismos/as como cuando conseguimos llegar de

un lado a otro del arco sin caídas, heridas y moratones. En realidad, es otro instrumento graduado con el

que, en lugar de trazar una recta o medir un segmento, dibujamos un ángulo o lo medimos.

 Estos materiales vamos comprándolos poco a poco y nos familiarizamos con ellos según practicamos los dibujos y las medidas. De tal manera que, seguramente, cuando hemos hablado de ellos, han empezado a venirte a la cabeza conceptos y momentos vividos en clase de Matemáticas o en casa. Así que, como se ha dejado caer anteriormente, es el momento de saber si esos recuerdos (más cercanos o un poco más lejanos) son tan buenos que tenías razón en lo de “eso me suena”.

Los ángulos, al igual que los números o los polígonos, también pueden clasificarse. Podemos nombrar un ángulo según la abertura que tiene, por su posición con respecto a otro o por cuánto suman dicho ángulo con otro con el que comparte vértice.

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA

La clasificación de los ángulos según sus medida sería:

Ángulos agudos

• Son todos los ángulos con una amplitud menor de 90º (>90º)

Ángulos rectos

• Son los ángulos que miden, exactamente, 90º.

Ángulos obtusos

• Son los ángulos que miden más de 90º y menos de 180º (>90º y <180º)

Ángulos llanos

• Son los ángulos que miden, exactamente 180º. A primera vista parecen una línea recta.

Ángulos cóncavos

• Son los ángulos cuya amplitud es mayor de 180º y menor de 360º (>180º y >360º)

Ángulos convexos

• Son los ángulos que miden entre 0º y 180º (>0º y >180º)

Ángulos completos

• Un ángulo completo es el que mide, exactamente 360º. Parece una circunferencia.

En la siguiente imagen puedes ver un ejemplo de cada tipo de ángulo:

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN

En esta clasificación se trata de ver un ángulo con respecto de otro. De tal manera que se pueden encontrar:

Ángulos consecutivos

• Son dos ángulos que comparten un vértice y un ángulo. Es decir, tienen el vértice y uno de sus lados en común.

Ángulos adyacentes.

• Son un tipo de ángulos consecutivos que suman entre los dos 180º.

Ángulos opuestos por el vértice

• Son dos ángulos que comparten el vértice, pero no comparten ninguno de sus lados.

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN LA SUMA CON OTROS ÁNGULOS

En este caso, ya se tiene en cuenta lo que suman en la categoría anterior, pero en esta se hace más evidente y, un ángulo puede ser varias cosas a la vez. De esta forma, tenemos:

Ángulos complementarios

• Son ángulos que suman 90º entre los dos.

Ángulos suplementarios

• Son ángulos que suman 180º entre los dos.

ACTIVIDAD 2

3.      NUMEROS ROMANOS

Los números romanos son el sistema de numeración que se utilizan en el antiguo Imperio romano. Los 

símbolos de la numeración romana corresponden a letras, que representan diferentes valores y se suman o

restan según su colocación, para poder expresar diferentes cifras. Actualmente, seguimos aprendiendo los

números y símbolos romanos en Primaria, en los colegios, ya que hoy en día se sigue utilizando esta

numeración en algunas ocasiones, como para hablar de siglos, nombrar a los reyes, o para denominar

eventos que se celebran cada año.

Si nos remontamos un poco en la historia, sabremos que los números romanos o sistema de numeración

romana, se basa en la numeración etrusca. La numeración etrusca era aditiva, es decir, que todos los

símbolos se suman unos a otros. La numeración romana dio una vuelta más y evolucionó un paso más. En el

caso de los romanos, los símbolos para representar los números suman, pero también restan. Por tanto,

decimos que es un sistema sustractivo (es decir, que resta). Un sistema en el que algunos de los signos

también restan, según su colocación.

La numeración romana se representa con letras. Cada una de las letras tiene asignado un valor, y los números se construyen uniendo estos símbolos, que, según unas reglas, suman o restan. ¿Cómo podemos saber las reglas para leer y escribir los números en romano? Las reglas para formar los números romanos hay que aprenderlas de memoria. Las reglas son sencillas, y una vez que las hemos aprendido, podemos transcribir cualquier cantidad de ordinal a romano.

REGLAS

·         Se leen de izquierda a derecha, y de mayor a menor.

·         Un símbolo seguido de otro de igual o inferior valor: suma

·         Un símbolo de valor menor a la izquierda de otro: resta

·         Los símbolos V, L, D siempre suman. Nunca pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor para restarse

·         Los símbolos I, X,C,M pueden repetirse hasta 3 veces (siempre se suman). Solo se puede restar una vez.

·         Los símbolos V, L, D No pueden repetirse

·         Solo se puede restar:

*I se puede restar a V y X

*X se puede restar a L y C

*C se puede restar a D y M

Los símbolos

• 1 – I
• 5 – V
• 10 – X
• 50 – L
• 100 – C
• 500 – D
• 1000 – M

Para expresar diferentes cantidades con estos símbolos, debemos aprender las siguientes reglas, ya que la colocación incorrecta de cada una de estas letras o símbolos puede generar confusión y expresar un número equivocado. Ten en cuenta que algunos de los símbolos restan según su colocación. Las reglas para leer y escribir en números romanos son las que veremos a continuación. Conocer los conceptos de unidades, decenas y centenas es de gran ayuda a la hora de pasar de números arábigos a romanos. Estas actividades con el ábaco ayudarán a los niños que todavía no tengan claros los conceptos de unidad, decena y centena.

REGLAS DE LOS SÍMBOLOS ROMANOS

• Los números romanos se leen de izquierda a derecha, y de mayor a menor.
• Cuando hay un símbolo seguido de otro de igual o inferior valor: suma.
• Si hay un símbolo de valor menor a la izquierda de otro: resta*
• Los símbolos V, L, D siempre suman. Nunca pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor para restarse.
• Algunos símbolos se pueden repetir hasta 3 veces. Estos símbolos son: I, D, C, M
• Los símbolos que se repiten siempre suman. Cualquiera de ellos solo se puede restar una vez.
• Hay símbolos que no se pueden repetir, estos son los múltiplos de 5: V, L, D.

* Respecto al tercer punto: Si hay un símbolo de valor menor a la izquierda de otro, resta. Solo se pueden restar los símbolos múltiplos de 10 y la unidad (I). Los símbolos que se pueden restar, solo pueden hacerlo de la siguiente forma:

• I se puede restar a V y D. Ejemplo: 9 en números romanos: IX, 4 sería IV
• X se puede restar a L y C. Ejemplo: 90 en números romanos XC. 40 sería XL
• C se puede restar a D y M. Ejemplo, 900 se escribe CM, y 400 se escribe CD en símbolos romanos.

Por ejemplo, 99 en números romanos es XCIX. En el caso del número 99, en números romanos lo dividimos en dos partes. XC es 90 (a 100, le restamos 10, o lo que es lo mismo: XC). IX es 9 (al número 10 le restamos 1, o lo que es lo mismo: IX). Por tanto, el número 99 en símbolos romanos sería 90 + 9 = 99. XC + IX= XCIX, 99.

ACTIVIDAD 3